Ma réplique de la Pascaline

Voici quelques photos de ma réplique de la Pascaline, la machine à calculer de Blaise Pascal. Son mécanisme est conforme à celui conçu par Blaise Pascal, à quelques points technologiques près que vous devinerez en analysant ce qui est usiné sur les photos. Cette réplique a été réalisée par un artisan de Vertaizon, à côté de Clermont, la ville de Pascal : Pierre CHARRIER 04 73 68 09 74. Pierre a raconté cette aventure dans un journal local que je vous conseille.

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La vue en majesté :

Pascaline vue d'ensemble

Ci dessous, la vue globale du mécanisme en enlevant la partie supérieure. On distingue en haut de la photo le dessous de la platine qui porte les rayons de saisie des chiffres. Dans le boitier, les 5 parties de la transmission qui sont de bas en haut, l’engrange qui est activé par les rayons, la série des 4 masselottes du reporteur sautoir qui assurent la retenue, les dispositifs anti retour qui ont aussi pour fonction de bloquer les cylindres d’affichage en face des orifices et enfin les cylindres d’affichage des chiffres avec la série croissante et la série décroissante pour les additions et les soustractions par complément à neuf :

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Le détail du célèbre sautoir, premier mécanisme dont la fonction est d’assurer la retenue :

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Et un éclaté de toutes les pièces :

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Quelques sources pour aller plus loin  :

Côté WEB :
La lettre de Pascal au Chancellier Seguier de 1645 suivi de l’Avis nécessaire à ceux qui auront la curiosité de s’en servir  sur le site de Bibnum
le site très complet d’André Devaux

Et côté librairies :
Le recueil des textes de Bibnum publié chez Cassini
L’histoire universelle des chiffres (Georges Ifrah)
Les machines arithmétiques de Blaise Pascal (Guy Mourlevat)
Histoire des instruments et machines à calculer (Jean Marguin)
Mathematics in the time of the Pharaos (Richard J. Gillings)
Le musée des Arts et Métiers

Et bien sûr, la planche de l’encyclopédie de Diderot.
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Multiplier par Gelosia, une méthode de la renaissance italienne

La multiplication par gelosia est décrite dans le Liber Abaci (Leonardo Fibonacci, 1202).
Elle se fait en portant le multiplicande en haut, ici 1709, année de l’article décrivant la première machine à multiplier (Leibniz, 1709).

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Puis le multiplicateur verticalement, ici 365 le nombre de jours dans l’année.
Dans chaque case on met le résultat de la multiplication élémentaire correspondant, avec les dizaines dans le triangle supérieur et les unités dans le triangle inférieur.
Il ne reste plus qu’à sommer dans chaque diagonale, en partant des unités.
Il a fallu 623 785 jours pour passer de la multiplication des pains à la multiplication mécanique.

Multiplier comme un scribe égyptien

Le calcul égyptien nous est connu par les papyrus des scribes et, tout particulièrement, par le papyrus de Rhind aujourd’hui au British Museum, qui comporte de nombreux exercices.
Ce calcul est décrit dans Mathematics in the time of the Pharaohs de Richard J. Gillings (Dover Publications, New York, 1982).
La multiplication se fait en n’utilisant que la table de 2. Bien que les égyptiens utilisaient la notation décimale, ils avaient réussi à se passer d’avoir à apprendre les tables de multiplication !

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On commence par choisir le multiplicateur, ici 58, et on le décompose en une somme de puissance de 2 (1, 2, 4 , 8 , …) puis on met en face le multiplicande et on le double à chaque ligne.
Il n’y a plus qu’à faire la somme des lignes correspondant aux puissances de 2 nécessaires à la décomposition du multiplicateur.

Et en vidéo :

Diviser en France au XVIIème siècle

La division à la française au XVII siècle présentée ici est décrite dans l’ouvrage L’arithmétique en sa perfection de F. Le Gendre, Arithméticien (1684).

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Le dividende, ici 6754 est posé puis, au dessous, le diviseur, 357, au plus à gauche possible, il faut ensuite “raisonner en soi-même” pour poser le premier chiffre du quotient.
Le calcul consiste ensuite à multiplier ce premier chiffre par le diviseur, en partant de la gauche, et à poser le reste au dessus du dividende.
Si on prend bien soin de barrer les chiffres utilisés et en procédant de gauche à droite, on trouve le quotient et, non barré au dessus du dividende, le reste !

Extraire une racine carrée avec une machine à calculer mécanique ?

Une machine mécanique à cylindres de Leibniz, comme la TIM utilisée dans les photos jointes, peut additionner et soustraire directement.
Elle facilite les multiplications et divisions en itérant les additions et les soustractions.
Pour extraire la racine carrée avec une telle machine, il faut disposer d’un algorithme qui permette de procéder par itération de soustractions, et c’est justement ce que permet la série des nombres impairs :
1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n**2
Par exemple, 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6**2

L’algorithme précédent s’avère vite fastidieux, puisqu’il y a n opérations à faire pour trouver la racine de n**2.
On peut accélérer grandement le calcul en découpant le nombre dont on veut extraire la racine par tranche de 2 chiffres et en recherchant les approximations successives de la racine en commençant par la gauche et par tranches de 2 chiffres.
Cherchons la racine de, disons, 1820 (la date de commercialisation de l’arithmomètre de Thomas de Colmar).

a)  on coupe par tranches de 2 en partant de la droite ici : 18 20

b) on cherche le plus grand carré dans le nombre de gauche, ici : a = 4

c) on a ensuite       1820 = (40 + x) **2 = 1600 + x (80 +x)

d) il faut trouver le plus grand x tel que  220 >=  x (80+x)   , ici : 2

Et on a 1820 = 42 **2  + 56     CQFD

La machine devra permettre de calculer x par itérations. A l’étape b, c’est la série des nombres impairs qui fait le travail,et pour l’étape d, cela s’obtient en poursuivant la série des nombres impairs à partir de 2a+1 car ,

(2a+1)+(2a+3)+… + (2a+(2n-1)) = 2an+ n**2

Dans notre exemple, nous aurons fait 4 +2 , 6 soustractions au lieu des 42 à faire sans le découpage par tranches de 2 chiffres.