La tablette YBC7289 et son étonnante précision

La tablette YBC7289 de la Yale Babylonian Collection

La tablette YBC7289 (Yale Babylonian Collection) est une des plus célèbres tablettes babyloniennes. Elle est référencée sur le site de Yale :

https://collections.peabody.yale.edu/search/Record/YPM-BC-021354

Cette tablette comporte une estimation remarquablement précise de racine de 2 en notation babylonienne, 1 24 51 10, soit (numération mixte de bases 10 et 60, voir infra) :

1 + 24/60 + 51/602 + 10/603

La valeur babylonienne est donc : 1,41421296…

La valeur aujourd’hui connue étant 1,41421356…

Comment peut-on expliquer une telle précision à 6 chiffres significatifs en sachant que les babyloniens ne divisaient pas directement mais multipliaient par les inverses, dont ils avaient des tables (dans leur système en base mixte 10 60) ?

L’hypothèse la plus répandue est qu’ils auraient utilisé la méthode de calcul itératif du héron, nommée ainsi en référence à Héron d’Alexandrie (1er siècle après J.-C., mais on sait qu’elle était connue bien avant chez les égyptiens), mais est-ce compatible avec le mode de numération qu’ils utilisaient pour les calculs ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_H%C3%A9ron

Dans le document joint, je reprends d’abord les principes de numération et de calcul jusqu’à la division par multiplication par les inverses, qu’on peut considérer être à la base de cette interrogation.

Je présente ensuite très rapidement la méthode de Héron par approximation successives, et ensuite j’essaie de l’appliquer par un calcul utilisant la division mésopotamienne.

Je conclus par un doute sur l’utilisation de la méthode de Héron, en prolongement de l’article (qui sera indiqué F&R dans le texte) :

HISTORIA MATHEMATICA 25 (1998), 366–378, ARTICLE NO. HM982209
Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context
David Fowler and Eleanor Robson

Une méthode d’approximation plus simple, type dichotomie, est ensuite testée avec la numération babylonienne et sans la difficulté de la division. Le test permet de conclure à la possibilité d’une telle démarche pour les scribes, mais en l’absence de sources, le doute demeure.

Calcul de racine de 2

Combien de musulmans en France ?

Dans le cadre du séminaire général de SND, laboratoire Sciences Normes et Démocratie de Sorbonne Université, j’ai présenté le 16 juin 2021 de 11h à 12h30,  un travail intitulé « Combien de musulmans en France ? Surestimation ou ignorance des ordres de grandeur démographiques dans les enquêtes d’opinion », dont voici un court résumé : 
« La philosophie expérimentale ainsi que la psychologie font un emploi de plus en plus massif des enquêtes d’opinion auto-administrées via Internet. Les biais dont pâtissent les résultats issus de ces enquêtes ont fait l’objet de nombreux travaux depuis les apports initiaux de Kahneman et Tversky dans les années 1970 et alimentent le scepticisme à l’égard de ces enquêtes. La présentation aura pour objet le cas particulier des questions quantitatives portant sur la démographie. En partant d’un article proclamant que les français surestiment le nombre de musulmans dans leurs pays, nous présenterons 4 enquêtes dont les résultats mettent en lumière, empiriquement, l’inadéquation de cette interprétation. »

La philosophie morale expérimentale est-elle expérimentale ?

La philosophie morale expérimentale est-elle expérimentale ?

Cet article a été réalisé dans le cadre d’un séminaire organisé par la MISHA de l’université de Strasbourg sur l’épistémologie comparée de l’expérimentation en sciences de la nature et en sciences humaines. Il est la version Auteur de l’article publié dans le numéro spécial de Philosophia Scientiae. https://journals.openedition.org/philosophiascientiae/1967

DOI : 10.4000/philosophiascientiae.1967

La Division d’après Gerbert d’Aurillac

Gerbert d’Aurillac a été pape de 999 à 1003 sous le nom de Sylvestre II. Il a étudié l’arithmétique et tenté d’introduire dans l’occident chrétien les méthodes de calcul transmises par les arabes. Son élève Bernelin a écrit un ouvrage LIBRE d’ABAQUE dont la transcription en latin et la traduction en français ont été publiées sous ce titre en 2011. Bernelin y présente l’abaque de Gerbert d’Aurillac et comment l’utiliser pour faire des divisions simples (le diviseur n’a qu’un chiffre) ou complexes (le diviseur a plusieurs chiffres).

L’abaque comporte des colonnes pour les unités, les dizaines, les centaines, … et on place dans chaque colonne des jetons représentant les chiffres sur lesquels on opère.

(source : IREM de la Réunion). On notera que Gerbert n’utilise pas de signe pour le zéro mais laisse la colonne vide et la graphie des chiffres qui vient des ouvrages arabes autour de l’an 1000. Pour plus de facilité, j’utilise la graphie moderne dans l’exemple ci-dessous.

Je reprends ici l’exemple de la division que j’ai déjà utilisé pour l’article « diviser au XVIII ème siècle ».

6754 divisé par 357 donne 18 et il reste 328.

La méthode dite de « division complexe avec différence » procède de la façon suivante. Tout d’abord on trace un trait horizontal et sous ce trait on pose le dividende 6754 et au dessus le diviseur, 357. Ensuite, au dessus du diviseur on pose le chiffre rond plus grand que le diviseur, ici 400 et, en dessous du diviseur, la différence entre 400 et 357, soit 43. Le principe de la démarche est de diviser par un nombre plus grand mais plus facile à manier et de rajouter au reste le multiple de cette différence nécessaire.

On divise ensuite le chiffre des milliers, 6, par 4, soit 1 qu’on inscrit tout en bas de l’abaque, et reste 2 qu’on écrit juste sous le 6, on descend ensuite 754 et on rajoute 1 fois la différence soit 43 à l’aplomb du 1. En ajoutant les deux chiffres, le reste est donc de 3184 qui est plus petit que 3570, on peut donc passer aux unités. On divise 31 par 4, soit 7, il reste 384 auquel il faut rajouter 7 fois 43 soit 301 et le reste est 685. Diviser 685 par 400 donne 1 avec un reste de 285 auquel il faut rajouter 1 fois la différence soit 43 et il reste à lire le résultat : la division donne 18 et un reste de 328.

Le résultat final est celui-ci :

Multiplier avec une TIM de 1912

La machine TIM de 1912  (Time is Money, déjà) permet de faire tous types d’opérations arithmétiques. Sa structure interne est proche de l’Arithmomètre de Thomas de Colmar lui même très inspiré par la machine de Leibniz. Je vous propose ci-dessous une vidéo montrant son utilisation pour une multiplication simple.