Une machine mécanique à cylindres de Leibniz, comme la TIM utilisée dans les photos jointes, peut additionner et soustraire directement.
Elle facilite les multiplications et divisions en itérant les additions et les soustractions.
Pour extraire la racine carrée avec une telle machine, il faut disposer d’un algorithme qui permette de procéder par itération de soustractions, et c’est justement ce que permet la série des nombres impairs :
1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n**2
Par exemple, 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6**2
L’algorithme précédent s’avère vite fastidieux, puisqu’il y a n opérations à faire pour trouver la racine de n**2.
On peut accélérer grandement le calcul en découpant le nombre dont on veut extraire la racine par tranche de 2 chiffres et en recherchant les approximations successives de la racine en commençant par la gauche et par tranches de 2 chiffres.
Cherchons la racine de, disons, 1820 (la date de commercialisation de l’arithmomètre de Thomas de Colmar).
a) on coupe par tranches de 2 en partant de la droite ici : 18 20
b) on cherche le plus grand carré dans le nombre de gauche, ici : a = 4
c) on a ensuite 1820 = (40 + x) **2 = 1600 + x (80 +x)
d) il faut trouver le plus grand x tel que 220 >= x (80+x) , ici : 2
Et on a 1820 = 42 **2 + 56 CQFD
La machine devra permettre de calculer x par itérations. A l’étape b, c’est la série des nombres impairs qui fait le travail,et pour l’étape d, cela s’obtient en poursuivant la série des nombres impairs à partir de 2a+1 car ,
(2a+1)+(2a+3)+… + (2a+(2n-1)) = 2an+ n**2
Dans notre exemple, nous aurons fait 4 +2 , 6 soustractions au lieu des 42 à faire sans le découpage par tranches de 2 chiffres.