Multiplier par Gelosia, une méthode de la renaissance italienne

La multiplication par gelosia est décrite dans le Liber Abaci (Leonardo Fibonacci, 1202).
Elle se fait en portant le multiplicande en haut, ici 1709, année de l’article décrivant la première machine à multiplier (Leibniz, 1709).

gelosia
Puis le multiplicateur verticalement, ici 365 le nombre de jours dans l’année.
Dans chaque case on met le résultat de la multiplication élémentaire correspondant, avec les dizaines dans le triangle supérieur et les unités dans le triangle inférieur.
Il ne reste plus qu’à sommer dans chaque diagonale, en partant des unités.
Il a fallu 623 785 jours pour passer de la multiplication des pains à la multiplication mécanique.

Multiplier comme un scribe égyptien

Le calcul égyptien nous est connu par les papyrus des scribes et, tout particulièrement, par le papyrus de Rhind aujourd’hui au British Museum, qui comporte de nombreux exercices.
Ce calcul est décrit dans Mathematics in the time of the Pharaohs de Richard J. Gillings (Dover Publications, New York, 1982).
La multiplication se fait en n’utilisant que la table de 2. Bien que les égyptiens utilisaient la notation décimale, ils avaient réussi à se passer d’avoir à apprendre les tables de multiplication !

egypte
On commence par choisir le multiplicateur, ici 58, et on le décompose en une somme de puissance de 2 (1, 2, 4 , 8 , …) puis on met en face le multiplicande et on le double à chaque ligne.
Il n’y a plus qu’à faire la somme des lignes correspondant aux puissances de 2 nécessaires à la décomposition du multiplicateur.

Et en vidéo :
combien de jours à vécu Champollion ?

Diviser en France au XVIIème siècle

La division à la française au XVII siècle présentée ici est décrite dans l’ouvrage L’arithmétique en sa perfection de F. Le Gendre, Arithméticien (1684).

divisionxviii
Le dividende, ici 6754 est posé puis, au dessous, le diviseur, 357, au plus à gauche possible, il faut ensuite « raisonner en soi-même » pour poser le premier chiffre du quotient.
Le calcul consiste ensuite à multiplier ce premier chiffre par le diviseur, en partant de la gauche, et à poser le reste au dessus du dividende.
Si on prend bien soin de barrer les chiffres utilisés et en procédant de gauche à droite, on trouve le quotient et, non barré au dessus du dividende, le reste !

Extraire une racine carrée avec une machine à calculer mécanique ?

Une machine mécanique à cylindres de Leibniz, comme la TIM utilisée dans les photos jointes, peut additionner et soustraire directement.
Elle facilite les multiplications et divisions en itérant les additions et les soustractions.
Pour extraire la racine carrée avec une telle machine, il faut disposer d’un algorithme qui permette de procéder par itération de soustractions, et c’est justement ce que permet la série des nombres impairs :
1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n**2
Par exemple, 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6**2

L’algorithme précédent s’avère vite fastidieux, puisqu’il y a n opérations à faire pour trouver la racine de n**2.
On peut accélérer grandement le calcul en découpant le nombre dont on veut extraire la racine par tranche de 2 chiffres et en recherchant les approximations successives de la racine en commençant par la gauche et par tranches de 2 chiffres.
Cherchons la racine de, disons, 1820 (la date de commercialisation de l’arithmomètre de Thomas de Colmar).

a)  on coupe par tranches de 2 en partant de la droite ici : 18 20

b) on cherche le plus grand carré dans le nombre de gauche, ici : a = 4

c) on a ensuite       1820 = (40 + x) **2 = 1600 + x (80 +x)

d) il faut trouver le plus grand x tel que  220 >=  x (80+x)   , ici : 2

Et on a 1820 = 42 **2  + 56     CQFD

La machine devra permettre de calculer x par itérations. A l’étape b, c’est la série des nombres impairs qui fait le travail,et pour l’étape d, cela s’obtient en poursuivant la série des nombres impairs à partir de 2a+1 car ,

(2a+1)+(2a+3)+… + (2a+(2n-1)) = 2an+ n**2

Dans notre exemple, nous aurons fait 4 +2 , 6 soustractions au lieu des 42 à faire sans le découpage par tranches de 2 chiffres.

Leibniz et le calcul binaire

Leibniz s’est passionné pour la notation binaire, et je pense pouvoir avancer qu’il a été le premier à réaliser que cette notation serait particulièrement adaptée à la construction d’une machine à calculer.

C’est ce que j’ai transcrit et commenté ici  pour Bibnum sur la base de ce texte fondateur qu’est le manuscrit du 15 mars 1679 dans lequel est mentionnée pour la première fois la possibilité d’un calculateur binaire.