Extraire une racine carrée avec une machine à calculer mécanique ?

Une machine mécanique à cylindres de Leibniz, comme la TIM utilisée dans les photos jointes, peut additionner et soustraire directement.
Elle facilite les multiplications et divisions en itérant les additions et les soustractions.
Pour extraire la racine carrée avec une telle machine, il faut disposer d’un algorithme qui permette de procéder par itération de soustractions, et c’est justement ce que permet la série des nombres impairs :
1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n**2
Par exemple, 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6**2

L’algorithme précédent s’avère vite fastidieux, puisqu’il y a n opérations à faire pour trouver la racine de n**2.
On peut accélérer grandement le calcul en découpant le nombre dont on veut extraire la racine par tranche de 2 chiffres et en recherchant les approximations successives de la racine en commençant par la gauche et par tranches de 2 chiffres.
Cherchons la racine de, disons, 1820 (la date de commercialisation de l’arithmomètre de Thomas de Colmar).

a)  on coupe par tranches de 2 en partant de la droite ici : 18 20

b) on cherche le plus grand carré dans le nombre de gauche, ici : a = 4

c) on a ensuite       1820 = (40 + x) **2 = 1600 + x (80 +x)

d) il faut trouver le plus grand x tel que  220 >=  x (80+x)   , ici : 2

Et on a 1820 = 42 **2  + 56     CQFD

La machine devra permettre de calculer x par itérations. A l’étape b, c’est la série des nombres impairs qui fait le travail,et pour l’étape d, cela s’obtient en poursuivant la série des nombres impairs à partir de 2a+1 car ,

(2a+1)+(2a+3)+… + (2a+(2n-1)) = 2an+ n**2

Dans notre exemple, nous aurons fait 4 +2 , 6 soustractions au lieu des 42 à faire sans le découpage par tranches de 2 chiffres.

Leibniz et le calcul binaire

Leibniz s’est passionné pour la notation binaire, et je pense pouvoir avancer qu’il a été le premier à réaliser que cette notation serait particulièrement adaptée à la construction d’une machine à calculer.

C’est ce que j’ai transcrit et commenté ici  pour Bibnum sur la base de ce texte fondateur qu’est le manuscrit du 15 mars 1679 dans lequel est mentionnée pour la première fois la possibilité d’un calculateur binaire.

La machine à calculer de Leibniz

Après Pascal et sa Pascaline de 1645, Leibniz a tenté de réaliser une machine à calculer mécanique qui permettait les multiplications. Leibniz a décrit sa machine dans un document de 1710 que j’ai commenté sur Bibnum ici.

Bien que les 2 prototypes qu’il a entrepris n’aient pas fonctionné, les concepts qu’il a développés ont été repris au 19ème siècle pour la première machine réalisée en série, l’Arithmomètre de Thomas de Colmar, et par de nombreuses machines du 20ème siècle.

Cet article a été repris dans le recueil Regards sur les textes fondateurs de la science , Volume 1, sous la direction d’Alexandre Moatti, Cassini Paris 2010, pp 75-86.

ISBN 978-2-84225-148-2