La Division d’après Gerbert d’Aurillac

Gerbert d’Aurillac a été pape de 999 à 1003 sous le nom de Sylvestre II. Il a étudié l’arithmétique et tenté d’introduire dans l’occident chrétien les méthodes de calcul transmises par les arabes. Son élève Bernelin a écrit un ouvrage LIBRE d’ABAQUE dont la transcription en latin et la traduction en français ont été publiées sous ce titre en 2011. Bernelin y présente l’abaque de Gerbert d’Aurillac et comment l’utiliser pour faire des divisions simples (le diviseur n’a qu’un chiffre) ou complexes (le diviseur a plusieurs chiffres).

L’abaque comporte des colonnes pour les unités, les dizaines, les centaines, … et on place dans chaque colonne des jetons représentant les chiffres sur lesquels on opère.

(source : IREM de la Réunion). On notera que Gerbert n’utilise pas de signe pour le zéro mais laisse la colonne vide et la graphie des chiffres qui vient des ouvrages arabes autour de l’an 1000. Pour plus de facilité, j’utilise la graphie moderne dans l’exemple ci-dessous.

Je reprends ici l’exemple de la division que j’ai déjà utilisé pour l’article “diviser au XVIII ème siècle”.

6754 divisé par 357 donne 18 et il reste 328.

La méthode dite de “division complexe avec différence” procède de la façon suivante. Tout d’abord on trace un trait horizontal et sous ce trait on pose le dividende 6754 et au dessus le diviseur, 357. Ensuite, au dessus du diviseur on pose le chiffre rond plus grand que le diviseur, ici 400 et, en dessous du diviseur, la différence entre 400 et 357, soit 43. Le principe de la démarche est de diviser par un nombre plus grand mais plus facile à manier et de rajouter au reste le multiple de cette différence nécessaire.

On divise ensuite le chiffre des milliers, 6, par 4, soit 1 qu’on inscrit tout en bas de l’abaque, et reste 2 qu’on écrit juste sous le 6, on descend ensuite 754 et on rajoute 1 fois la différence soit 43 à l’aplomb du 1. En ajoutant les deux chiffres, le reste est donc de 3184 qui est plus petit que 3570, on peut donc passer aux unités. On divise 31 par 4, soit 7, il reste 384 auquel il faut rajouter 7 fois 43 soit 301 et le reste est 685. Diviser 685 par 400 donne 1 avec un reste de 285 auquel il faut rajouter 1 fois la différence soit 43 et il reste à lire le résultat : la division donne 18 et un reste de 328.

Le résultat final est celui-ci :

Multiplier avec une TIM de 1912

La machine TIM de 1912  (Time is Money, déjà) permet de faire tous types d’opérations arithmétiques. Sa structure interne est proche de l’Arithmomètre de Thomas de Colmar lui même très inspiré par la machine de Leibniz. Je vous propose ci-dessous une vidéo montrant son utilisation pour une multiplication simple.

Histoire du calcul à la médiathèque Yourcenar

La médiathèque Marguerite Yourcenar organise une exposition sur l’histoire du calcul, qui comportera une partie des machines à calculer de ma collection, et une conférence de présentation de cette exposition le 28 janvier prochain, ci dessous les liens vers les détails de ces événements sur le site Que Faire à Paris :

Le lien vers la page du site Que faire à Paris sur l’exposition

Le lien vers la page du même site sur la conférence.

 

Ma réplique de la Pascaline

Voici quelques photos de ma réplique de la Pascaline, la machine à calculer de Blaise Pascal. Son mécanisme est conforme à celui conçu par Blaise Pascal, à quelques points technologiques près que vous devinerez en analysant ce qui est usiné sur les photos. Cette réplique a été réalisée par un artisan de Vertaizon, à côté de Clermont, la ville de Pascal : Pierre CHARRIER 04 73 68 09 74. Pierre a raconté cette aventure dans un journal local que je vous conseille.

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La vue en majesté :

Pascaline vue d'ensemble

Ci dessous, la vue globale du mécanisme en enlevant la partie supérieure. On distingue en haut de la photo le dessous de la platine qui porte les rayons de saisie des chiffres. Dans le boitier, les 5 parties de la transmission qui sont de bas en haut, l’engrange qui est activé par les rayons, la série des 4 masselottes du reporteur sautoir qui assurent la retenue, les dispositifs anti retour qui ont aussi pour fonction de bloquer les cylindres d’affichage en face des orifices et enfin les cylindres d’affichage des chiffres avec la série croissante et la série décroissante pour les additions et les soustractions par complément à neuf :

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Le détail du célèbre sautoir, premier mécanisme dont la fonction est d’assurer la retenue :

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Et un éclaté de toutes les pièces :

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Quelques sources pour aller plus loin  :

Côté WEB :
La lettre de Pascal au Chancellier Seguier de 1645 suivi de l’Avis nécessaire à ceux qui auront la curiosité de s’en servir  sur le site de Bibnum
le site très complet d’André Devaux

Et côté librairies :
Le recueil des textes de Bibnum publié chez Cassini
L’histoire universelle des chiffres (Georges Ifrah)
Les machines arithmétiques de Blaise Pascal (Guy Mourlevat)
Histoire des instruments et machines à calculer (Jean Marguin)
Mathematics in the time of the Pharaos (Richard J. Gillings)
Le musée des Arts et Métiers

Et bien sûr, la planche de l’encyclopédie de Diderot.
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Multiplier par Gelosia, une méthode de la renaissance italienne

La multiplication par gelosia est décrite dans le Liber Abaci (Leonardo Fibonacci, 1202).
Elle se fait en portant le multiplicande en haut, ici 1709, année de l’article décrivant la première machine à multiplier (Leibniz, 1709).

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Puis le multiplicateur verticalement, ici 365 le nombre de jours dans l’année.
Dans chaque case on met le résultat de la multiplication élémentaire correspondant, avec les dizaines dans le triangle supérieur et les unités dans le triangle inférieur.
Il ne reste plus qu’à sommer dans chaque diagonale, en partant des unités.
Il a fallu 623 785 jours pour passer de la multiplication des pains à la multiplication mécanique.